Arithmetic Progression

Class 10 – Arithmetic Progression (अंकगणितीय श्रेणी)

Class 10 – Arithmetic Progression (AP / अंकगणितीय श्रेणी) Formulas

1. Definition | परिभाषा

A sequence in which each term after the first is obtained by adding a constant difference, d, to the preceding term.
Hindi: ऐसी श्रेणी जिसमें पहले पद के बाद प्रत्येक पद पिछले पद में एक समान अंतर d जोड़कर प्राप्त होता है।

2. nth Term of AP | AP का nवाँ पद

Tₙ = a + (n − 1)d
Hindi: Tₙ = a + (n − 1)d

3. First Term | पहला पद

a = T₁
Hindi: a = पहला पद

4. Common Difference | समानांतर अंतर

d = T₂ − T₁ = Tₙ − Tₙ₋₁
Hindi: d = T₂ − T₁ = Tₙ − Tₙ₋₁

5. Sum of n Terms | n पदों का योग

Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)d]
Hindi: Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)d]

6. Alternative Sum Formula | वैकल्पिक योग सूत्र

Sₙ = n/2 × (a + l), l = last term
Hindi: Sₙ = n/2 × (a + l), l = अंतिम पद

7. Mean of AP | AP का माध्य

Arithmetic mean = (Sum of n terms) / n = Sₙ / n
Hindi: माध्य = n पदों का योग / n = Sₙ / n

8. nth Term (if last term known) | अंतिम पद ज्ञात होने पर nवाँ पद

Tₙ = l − (N − n)d
Hindi: Tₙ = l − (N − n)d

9. Relation between terms | पदों के बीच संबंध

2Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₊₁
Hindi: 2Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₊₁

10. Insertion of n terms | n पदों का समावेशन

To insert n terms between a and b: d = (b − a)/(n + 1)
Hindi: a और b के बीच n पद जोड़ने के लिए: d = (b − a)/(n + 1)

11. Sum of first n odd numbers | पहले n विषम संख्याओं का योग

Sₙ = n²
Hindi: Sₙ = n²

12. Sum of first n even numbers | पहले n सम संख्याओं का योग

Sₙ = n(n + 1)
Hindi: Sₙ = n(n + 1)

13. Sum of consecutive numbers | लगातार संख्याओं का योग

Sₙ = n(n + 1)/2
Hindi: Sₙ = n(n + 1)/2

14. AP Formula using two terms | दो पद ज्ञात होने पर AP सूत्र

d = (Tₘ − Tₙ) / (m − n)
Hindi: d = (Tₘ − Tₙ) / (m − n)

15. Number of terms | पदों की संख्या

n = [(l − a)/d] + 1
Hindi: n = [(l − a)/d] + 1

16. Middle Term (if n odd) | मध्य पद (n विषम होने पर)

Tₘ = (Sₙ)/n
Hindi: Tₘ = (Sₙ)/n

17. Sum of first n multiples of m | m के पहले n गुणकों का योग

Sₙ = n/2 × [2m + (n − 1)m] = n/2 × m(n + 1)
Hindi: Sₙ = n/2 × [2m + (n − 1)m] = n/2 × m(n + 1)

18. Sum of terms in decreasing AP | घटती AP में पदों का योग

Sₙ = n/2 × [2a − (n − 1)d]
Hindi: Sₙ = n/2 × [2a − (n − 1)d]

19. nth Term Negative d | d < 0

Tₙ = a + (n − 1)d, d negative
Hindi: Tₙ = a + (n − 1)d, d ऋणात्मक

20. Real-Life Applications | वास्तविक जीवन में उपयोग

Salary, interest, population growth, installment problems
Hindi: वेतन, ब्याज, जनसंख्या वृद्धि, किश्त समस्याओं में उपयोग
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